HIMPUNAN

A.     Defenisi Himpunan

 

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas.

 Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital seperti  A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil  atau angka.

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :

1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh : A = {a, i, u, e, o}.   
        

2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati.

Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif ={1,2,3,.. }

N adalah bilangan asli = {1,2,3.. }     

Z adalah bilangan bulat ={...,-2,-1,0,1,2,...}

R adalah himpunan bilangan riil.

Q adalah bilangan rasional

C adalah himpunan bilangan kompleks

3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota atau syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}

4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.

Contoh : 

B.       KARDINALITAS

Kardinalitas adalah ukuran banyaknya elemen yang berbeda dalam suatu himpunan.

Notasi : n(A) atau A

Contoh : 1. A = {1,2,3,4,5}

A  = 5

2. B = {a {a,b}{a,b,c}}

B  = 3

C.     HIMPUNAN KOSONG

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Simbol himpunan kosong adalah { } atau    .

Contoh : A = {makhluk hidup yang tidak memerlukan oksigen }

A = { }    

                      

D.     HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET)

A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota  himpunan B dilambangkan dengan A   B

  Contoh:

 A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ;

 B = { 1, 2, 3, 4 } ;

 C = { 6, 7, 8, 9 }

• Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi  B   A
• Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C   A

    Rumus Banyaknya Himpunan Bagian :

         Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A   adalah  sebanyak 2^n(A)

Contoh :

Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut :

1.A = { a, b, c }          2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }             3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

 Jawaban :

1        n(A) = 3  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 2³ = 2 x 2 x 2 = 8

2        .n(B) = 5  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 323.

3        n(C) = 7  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 

E.     HIMPUNAN YANG SAMA

   Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B, jika A adalah himpunan bagian  dari B, dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian maka dikatakan himpunan A tidak sama dengan himpunan B

   Hal yang perlu diperhatikan dalam kesamaan dua himpunan adalah 1). Urutan elemen didalam himpunan tidak penting, 2).pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan, 3). Untuk tiga buah himpunan A,B,C  berlaku aksioma beerikut : (a). A = A, B = B, dan C = C, (b). Jika A = B dan B = A, (c). Jika A = B dan B = C, maka A = C

Contoh : A = { a,i,a,e,a,o }

B = {a,i,o,e }

A = B

F.     HIMPUNAN EKIVALEN

Dua buah nimpunan yang mempunyai kardinal yang sama atau banyak anggota yang sama meskipun anggota kedua himpunan tersebut tidak sama. Maka kedua nimpunan tersebut dikatakan ekivalen.

 

Contoh : A = {1,3,5,7,9}

B = { a,i,u,e,o }

G.     HIMPUNAN LEPAS ( // )                                        

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama 

Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }

G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi  L // G 

H.     HIMPUNAN TIDAK SALING LEPAS

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama  

Contoh : P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himp unan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P  Q

.      HIMPUNAN KUASA

Himpunan kuasa ( power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan bagian A itu sendiri.

Notasi : P(A) atau 2^A

Contoh : jika A = { a, b} maka P(A) ={ , { a }, { b }, { a, b }}

10.     OPERASI PADA HIMPUNAN

1.      Irisan (  )

Irisan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan.

 

Contoh : A = {1,2,3,4,5}

B ={2,3,5,7,11}

A  B = { 2,3,5}

2.      Gabungan (  )

Gabungan adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota dari dua himpunan.

Contoh : A = {1,2,3,4,5}

B ={2,3,5,7,11}           

A B ={ 1,2,3,4,5,7,11}     

3.      Selisis ( - )

Selisis adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Contoh : A = {1,2,3,4,5}              

B ={2,3,5,7,11}           

A - B ={ 1,4}

B - A ={ 2,7,11}

4.      Komplemen

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.

Contoh : A = {1,2,3,4,5}

S ={1,2,3,4,5,...,9}       

Ac ={ 6,7,8,9}

5.      Penjumlahan ( + )

Penjulahan suatu himpunan yaitu gabungan antara dua anggota himpunan tetapi bukan irisan dari kedua himpunan.

Contoh : A = {1,2,3,4,5}              

B ={2,3,5,7,11}           

A + B ={ 1,4,7,11}

6.      Perkalian ( x )

Perkalian adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dan komponen kedua

Contoh : A = {1,2,3,4,5}              

B ={a,b}          

A  B ={( 1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(4,a),(4,b),(5,a),(5,b)}

7.  Beda setangkup (  )

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada  himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.

Contoh : A = {1,2,3,4,5}              

B ={2,3,5,7,11}

A  B = { 1,2,3,4,5,7,11} - { 2,3,5}

= { 1,4,7,11}

K. HIMPUNAN GANDA ( MULTI SET)

a.       Irisan (  ) adalah semua anggota yang ada di dua himpunan yang berpasangan.

Contoh : A = (1,1,2,2,2,3,3,3,4,4.4,4,5,5,5,5,5)

B = (1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6)

A  B = (1,1,2,2,3,3,4,4,5,5)

b.      Gabungan ( U ) adalah semua anggota yang ada di dua himpunan (apabila ada anggota yang sama antara dua himpunan cukup ditulis sekali saja)

Contoh : A = (1,1,2,2,2,3,3,3,4,4.4,4,5,5,5,5,5)

B = (1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6)

A  B = (1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6)

c.       Selisih ( - ) adalah semua anggota himpunan yang tidak memiliki pasangan pada himpunan pertama

Contoh : A = (1,1,2,2,2,3,3,3,4,4.4,4,5,5,5,5,5)

B = (1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6)

A – B = (2,3,4,4,5,5,5)

d.      Penjumlahan ( + ) adalah semua anggota yang ada di kedua himpunan.

Contoh : A = (1,1,2,2,2,3,3,3,4,4.4,4,5,5,5,5,5)

B = (1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6)

A + B = (1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,6)

L. HIMPUNAN BILANGAN

Bilangan kompleks terdiri dari bilangan imajiner dan bilangan real. Yang bentuknya :

 Z = a + bi atau  Z = x + yi dimana a,b  R dan i bilangan imajineran

1.      Bilangan imajiner

Bialngan imajiner  adalah bilangan i (satuan imajiner) dimana i adalah lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1                                                                                                

2.      Bilangan real

Bilangan real tterdiri dari :

1.       Bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa habis dibagi / tak terhingga

Contoh : π = 22/7 , 3.14 ,

2.       Bilangan rasional (Q)

Bilangan rasioal adalah bilanggaan yang habis dibagi. Mulai dari (- ∞, + ∞)

Billangan rasional terdiri dari :

1.      Bilangan bulat

Bilangan bulat ialah semua bilangan yang dari negatif (-), null (0),  positif (+), tetapi tidak termasuk pecahan dan bilangan desimal.

Bilangan bulat terbagi menjadi :       

ü  Bilangan bulat negatif (-)

Contoh :  bilangan dibawah 0 (-1,-2,-3,-4,-5,- ∞)

ü  Bilangan bulat caca

Bilangan yang dimulai dari null (0) sampai + ∞. Bilangan caca terdiri dari :

v  Bilangan null

v  Bilangan asli : bilangan dari - ∞,∞, tanpa null (0)

Bilangan asli tediri dari :

·         Bilangan prima, yaitu bilangan yang habis dibagi dangan dirinya sendiri yang lsbih besar dari 1{ 2,3,5,7,..}

·         Bilangan komposit, yaitu bilangan selain bilangan prima lebih dari satu (bilangan genab ) {1,2,4,5,6,,7,..}

·         Bilangan ganjil {1,3,5,7,9,..}

·         Bilangan genap {2,,4,6,8,10,..}

2.       Bilangan pecahan :  dimana a,b  asli,b  0

Sifat Bilangan

       I.            Penjumlahan

·         Tertutup : dimana a + b = c

·         Asosiatif:  pengelompokan  a + ( b + c) = (a + b) + c

·         Komutatif : pengelompokan ( a + b = b + a)

·         Invers : a + (-b) = a – b

·         Identitas : yang bernilai null (0)

    II.            Pengurangan

·         Tertutup : a – b =  c

a – 0 = a

0 – a = -a

a – b = a + (-b)

a – (-b) = a + b

 III.            Perkalian

·         Tertutup : dimana a  b = c

·         Asosiatif:  pengelompokan  a   ( b   c) = (a   b)   c

·         Komutatif : pengelompokan ( a   b = b   a)

·         Distributif : a  (b + c) = (a  b) + (a  c)

·         Identitas : 1 , jika dikalikan satu maka hasilnya nilai itu sendiri.

 IV.            Pembagian

Bilangan bulat dengan pembagian null (0) adalah tak terdefenisi.